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新教材中新增了向量的内容,其中两个向量的数量积有一个性质:a·b=a·bcosθ(其中θ为向量a与b的夹角),则a·b=a·bcosθ,又-1≤cosθ≤1,则易得到以下推论:
(1)a·b≤a·b;(2)a·b≤a·b;
(3)当a与b同向时,a·b=a·b;当a与b反向时,a·b=
-a·b;
(4)当a与b共线时,a·b=a·b。
下面例析以上推论在解不等式问题中的应用。
一、证明不等式
例1.已知a、b∈R+,a+b=1,求证 + ≤2 .
证明:设m=(1,1),n=( , ),则m·n= +
m= ,n= =2,由性质m·n≤m·n,得 + ≤2
例2.已知x+y+z=1,求证x2+y2+z2≥
证明:设m=(1,1,1),n=(x,y,z),
则m·n=x+y+z=1
m= ,n=
由性质m·n2≤m2n2,得x2+y2+z2≥
例3.已知a,b为正数,求证:(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3)2
证明:设m=(a,b),n=(a2,b2),
则m·n=a3+b3
m= ,n=
由性质m·n2≤m2n2,得(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3)2
例4.设a,b,c,d∈R,求证:ad+bc≤ ·
证明:设m=(a,b),n=(c,d),则m·n=ad+ac,m= ,n= ,由性质a·b≤a·b,得ad+bc≤ ·
二、比较大小
例5.已知m,n,a,b,c,d∈R+,且p= + ,q= · 那么p、q的大小关系为( )
A.p≤q B.p≥q C.p<q d.p,q大小不能确定="" 解:设h=( , ),k=( , )
则h·k= +
h= ,k=
由性质h·k≤h·k得 + ≤ · 即p≤q,故选A.
三、求最值
例6.已知m,n,x,y∈R,且m2+n2=a,x2+y2=b,那么mx+ny的最大值为( )
A. B. C. D.
解:设p=(m,n),q=(x,y),则由数量积的坐标运算,得p·q=mx+ny
而p= ,q= 从而有mx+ny≤ ·
当p与q同向时,mx+ny取最大值 · = ,故选A.
四、求参数的取值范围
例7.设x,y为正数,不等式 + ≤a 恒成立,求a的取值范围.
解:设m=( , ),n=(1,1),则m·n= + ,m= ,n=
由性质m·n≤m·n,得 + ≤ ·
又不等式 + ≤a 恒成立,故有a≥