1.通过观察发现图形特点，从而探索点阵中的规律。

2.通过本活动的教学，培养归纳，概括能力。

3.增强学生的审美观念，培养学生审美能力。

教学重点：在活动中培养分析、推理的思维能力，直观感知“点阵”有序排列。

教学难点：用不同的算式表示平方数，并能正确找到边长。

教具、学具：课件，点阵图。

教学活动：

1 激发兴趣、引入新知

1.课件出示奥运会方阵图片，学生说说感受。如果把每个演员看作一个点，（演示），再把这些点有规律地排列起来，就形成了一个美丽的图形（出示），这就是今天我们研究的点阵图。

2.介绍点和点阵。

师：二千多年前，希腊的数学家就开始研究点阵了，这节课，我想请你们也来尝试一下，当一回科学家，好不好？

【设计意图】利用“奥运会方阵”图引出点阵，激发学生的学习兴趣和求知欲望，介绍点阵体现数学知识的文化以及数学在生活中的应用价值。

2 多方观察、体验探究

2.1 探究横纵划分规律

师：我们一起来看看数学家们当年研究的点阵图，边看边说出各个点阵的点子数。

（依次出示前四个正方形点阵图，并逐步引导学生想像、猜测：下一个点阵图会是什么样子呢？有几个点构成？）

生：根据规律猜想。

师：在心里想第三个、第四个点阵图是什么样子。（示图）与你的想像一样吗？

师：怎么猜得这样准确？有窍门吗？

教师根据学生的回答，板书第一组算式。

1×1=1

2×2=4

3×3=9

4×4=16

师：像1、4、9、16这样的数叫平方数。正方形点阵最能体现平方数的特点。（板书：平方数）

师：这种数法真是又快又方便！照这样下去，第五个点阵有多少个点呢？第六个呢？第七个？八个？……第100个呢？ 第n个点阵呢怎样用算式表示？”

师：好像很有规律哦？谁能用一句话概括一下你发现的规律？

生：这样有序排列下去，第几个点阵点的个数就是几的平方。

师：你们能画出第五个点阵图吗？

指名学生上台用圆形磁铁摆，其余学生画一画。

【设计意图】让学生体会到点阵中的规律可以从形状和点数这两方面进行，从这两方面再来研究这组点阵中的规律。通过正方形方阵计算点数，得到平方数的特征。体现了数形结合的思想，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握。

2.2 探究拐弯划分规律

师：刚才同学们发现了点阵中的一个规律，这些点阵中还有其它的规律吗？还能换个角度去思考吗？

小组合作研究。（课件演示）

学生汇报，引导学生列算式。

生：点阵中的个数是：

1=1

1+3=4

1+3+5=9

1+3+5+7=16

………………

师：这组算式的规律是什么？

生：从1起连续奇数的和。（板书）

师：如果按这样的划分方法划分第六个正方形点阵，它的点数该如何用算式来表示？第8个呢？第n个呢？

生根据规律写出算式并总结规律。

师：请用你的方式概括一下你发现的规律。

生：这样划分后，点阵中的规律是：1，1+3，1+3+5，1+3+5+7，……1+3+3+7+……+（2n-1）

【设计意图】《课标》提出重视学生在数学学习活动中的主体地位，学生通过自主探索等方式通过实践，亲身参与教师设计的教学从而在数学思考、问题解决和情感态度方面得到充分的发展。当学生独立思考仍然不能解决的问题，就会产生合作学习的需要。体现了学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者这一新课程理念。

2.3 探究斜着划分规律

师：同学们从不同的角度研究了同一点阵不同的规律，想一想，还有其他的规律吗？

师：请同学们独立思考，写出算式，然后汇报。”

问：你是从哪个角度研究的呢？（学生汇报。）

（教师板书）

第1个： 1=1

第2个： 1+ 2+1=4

第3个： 1+2+3+2+1=9

第4个： 1+2+3+4+3+2+1=16

师：猜一猜老师接下来想提什么问题？（概括规律）

【设计意图】《课标》指出：数学活动经验的结累是提高学生数学素养的重要标志。在一二活动中设计了有效的数学探究活动，学生结累了数学活动的经验和数学解决问题的经验。因此，在第三个活动中，让学生自己独立思考，教师巡视，再作全班交流。这样既面向全体学生又关注了个体差异，从而增强学习数学的兴趣和信心。

2.4 总结提升

师：同学们，刚才我们从三个不同角度观察同一组正方形点阵，，得到了三条不同的规律，也许再换一个角度观察，还可以得到新的规律，今天咱们暂不作研究。既然是同一组点阵，那么黑板上的三组算式的得数就应该分别相等。我们可以用等于号将它们连接起来。这样，三种不同的算式都可以看作是求平方数来计算。

不过我们怎样来求这平方数呢？请同桌讨论交流。

这一知识你们掌握了吗？我出两题考考大家。

出示： 1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=（ ）

1+3+5+7+9+11+13+15=（ ）

教师小结：今天我们研究了正方形点阵，在学习这一内容时，你们都用到了哪些学习数学的方法呢？观察和思考是我们学习数学必不可少的方法，那么今天我们还学习了一种新的方法，借助图形来研究数，最终发现了点阵中隐含的规律。

【设计意图】《课标》指出：数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联。在学生从不同角度研究了不同的规律后，进行一个总结和提升，注重了在数学教学中知识的“生长点”与“延伸点”引导学生感受数学的整体性。

3 延伸应用，形成策略

生活中，除了正方形点阵外，还有其它形状的点阵吗？

3.1 长方形点阵（书P83试一试第1题）

学生独立用算式表示点阵中点的个数并发现规律。

3.2 三角形点阵（书P83试一试第2题）

学生从不同角度划分点阵，寻求多种解决问题的方法。

3.3 自创点阵图（三道题目任选一道题目完成）

a.根据图形布点。b.根据数字设计点阵图。c.自由创作点阵图。

【设计意图】学生在“探究”和“思考”的过程中积淀了数学活动经验，通过延伸应用培养学生举一反三的能力，学生通过观察、尝试、归纳、画图等活动中发现了规律，培养学生运用这些问题解决的策略解决实际问题，这样既发展了学生合情推理能力也发展了学生演绎推理能力。

4 参与评价，总结全课

4.1 引导学生回忆总结

师：通过这节课的学习，你有什么收获？

总结：同学们，我们今天研究了点阵中的规律，用点阵图发现了一些数的特征。由于图形具有直观形象的特点，会使抽象的数学问题变得生动具体，是我们学习数学的一大法宝，我们以后在研究数学问题时，要学会利用图形来帮助解决。在生活中，到处都存在各种各样的规律，老师希望同学们从现在开始做个有心的人，在以后的生活和学习中，多观察、多思考，继续去发现更多、更奇妙的规律。

4.2 参与评价，增强自信

师：同学们这节课你对自己或同学的表现满意吗？能评价一下自己或同学的表现吗？

最后，老师送给大家一句话：“善于观察，勤于思考，数形结合，发现规律.哪里有数学，哪里就有美！数学美把自然规律抽象成一幅简洁准确的图像！”

【设计意图】评价不仅要关注学生的学习结果，更要关注学生在学习过程中的发展和变化。因此，让学生总结反思的同时，参与评价，通过评价得到的信息，可以了解学生数学学习达到的水平和存在的问题，帮助教师进行总结与反思。

5 板书设计：

点阵中的规律

1 = 1 = 1 = 12 平方数

4 = 1+3 = 1+2+1 = 22

9 = 1+3+5 = 1+2+3+2+1 = 32

16 = 1+3+5+7 = 1+2+3+4+3+2+1 = 42

25 = 1+3+5+7+9 = 1+2+3+4+5+4+3++2+1 = 52