基于FEO算法的平面度误差评定

平面在产品的设计、制造、装配和检验过程中常常作为基准，平面度误差的大小对产品的质量和使用寿命具有重大的影响，因此，如何对平面度误差进行既准确又高效的评定就具有重要的工程实际意义。常用的评定平面度误差的方法有最小二乘法、三点法、对角线法和最小区域法，其中最小区域法是唯一满足最小条件的方法，可以得到理想值，但是由于其不易在程序上实现或程序运行时间较长，多数三坐标测量机采用的是最小二乘法，而最小二乘法又不满足最小区域条件。

20世纪末，国内外开始进行智能算法在平面度误差评定中应用的研究，智能算法评定平面度的研究主要集中在遗传算法和粒子群算法，与传统方法相比，智能算法往往更易于在计算机上的实现，更精确，更能满足工程的实际需要，因此得到了很大程度的发展。

烟花爆炸优化算法（FEO）是近几年新提出的一种智能优化算法，它具有快速的收敛过程和高精度的寻优能力，过程简单，易于实现，但是，由于针对烟花爆炸优化算法的研究才刚刚起步，目前烟花爆炸优化算法在各领域的应用还不算广泛。

本文试图将烟花爆炸优化算法应用于平面度的评定，探索烟花爆炸算法在平面度评定中应用的一些问题。

2 平面度的数学模型

三坐标测量机得到的是一系列点的三维坐标，记作，其中i=1，2，3……n，n为采样点的总数目。根据最小区域条件的要求，我们从所有方向的平面之中找出一个平面，，使平行该平面的两个平面包容采样点时的距离最小，这一最小距离即为平面度的值。我们可以采用一个向量（x，y，z）作为该平面的法向量来刻画这一平面的方向，考虑到和（k为任意不为零的常数）表示的方向实际上时相同的，可推理出描述三维空间上的方向不需要使用三个变量。我们可想像以xOy平面上的一个单位圆沿z轴正向和负向拉伸形成一个圆柱，从原点到该圆柱表面上的任意一点形成的向量，可描述三维空间上的任意方向（当z趋于无穷时，可表示z轴方向），这样，描述三维空间任意向量只需要和两个变量就可以了，会大大简化问题的后续处理。考虑到平面度评定过程中的所求平面的法向量往往与z轴方向接近，为避免z值过大处理不便，我们将这一向量写成。

假设给定某一向量，以这一向量为法向量的两个平面包容采样点的最小距离，可通过以下方法求出。

将原点与采样点相连构成向量称之为采样向量，记作Vi=（xi，yi，zi），其中i=1，2，3……n，n为采样点的总数目。对于每一个，我们可求出在方向上的投影。

不难看出，的最大值与最小值的差即为以向量为法向量的两个平面包容采样点的最小距离。

从所有方向的平面之中找出一个平面，使平行该平面的两个平面包容采样点时的距离最小，这一问题实质上是一个优化问题，其决策变量为和，其目标函数为d，整理可得以下数学模型：

3 烟花算法求解

上述优化问题可以采用FEO算法求解，其具体步骤如下：

Step1 设置算法的迭代次数T，烟花弹数N，初始的烟花爆炸最大半径rinitial和最后一次迭代时烟花爆炸的最大半径rend。

Step2 在二维搜索空间范围内随机初始化N个烟花弹的位置，迭代次数t取值为1。

Step3 采用以下公式计算本次迭代过程的烟花爆炸的最大半径r。

Step4 对每一个烟花单沿着标准坐标轴的4个方向分别以r、r/3、2r/3爆炸产生火星。

Step5 从目前空间中的所有火星和原烟花弹里选择最优的N/2个，并从剩下的火星或原烟花弹里随机挑选N/2个，共同组成N个烟花弹予以保留，其他的火星或烟花弹全部丢弃，置t=t+1。

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