【摘要】几何直观素养是22版数学新课程标准的重要素养之一。学习空间几何时，几何直观不仅可以帮助学生更好地理解和掌握几何概念，还可以为其提供有效的探究方式。将“做数学"的理念渗透到几何学习中，在手脑协作的过程中不仅可以培养学生的几何直观素养，还可以提升他们的空间想象、逻辑推理能力。教师应当充分认识到几何操作的重要性，并采取有效措施，以确保几何直观等核心素养得以落地。

【关键词】做数学；几何直观；初中数学；培养策略

Abstract：Geometric intuition literacy is one of the important literacies in the new 22nd edition of the mathematics curriculum standards. When learning spatial geometry， geometric intuition can not only help students better understand and master geometric concepts， but also provide them with an effective way to investigate. The concept of "doing mathematics" is infiltrated into geometry learning， and the process of hand-brain collaboration can not only develop students' geometric intuition， but also improve their spatial imagination and logical reasoning ability. Teachers should fully understand the importance of geometry manipulation and take effective measures to ensure that core literacies such as geometric intuition can be implemented.

Keywords：Doing Mathmatics， Geometric Intuition，Middle School Math， Developing Strategies

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《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调了几何直观和逻辑推理能力的重要性。几何直观素养的培养有助于学生的逻辑推理能力的发展。在几何问题的学习中，几何直观可以帮助学生启发问题解决的方向，有助于问题思路的探究。“做数学”旨在通过运用材料和工具进行活动，深入探究数学问题的本质，在手脑并用的过程中理解数学知识，发现数学关系，进而帮助学生解决数学问题，在“做数学”的过程中培养学生的数学核心素养，从而实现学科育人价值。“做数学”包括数学体验、数学实验、综合实践等多种形式的数学活动。在初中阶段，主要研究平面几何课程，图形不仅可以帮助学生进行数学思考和表达，还可以发展学生的空间观念和几何直观[1]。在几何问题的探究过程中，学生通过经历操作、观察、感悟、理解等过程积累几何操作经验，并获得感性认识，再经历探究、论证解决数学问题。教学中，教师可以通过“做数学”让学生积累数学操作的经验，同时发展学生的几何直观、逻辑推理等核心素养。文章基于“做数学”理念，提出以下培养学生几何直观素养策略。

1.培养规范作图能力，预测探究方向

几何教学中，教师应该关注和培养学生规范作图的意识和能力。学生在几何作图“做数学”的过程中，经历对图形观察、操作、分析、猜想，可以对图形特征有更深入的认识，同时也可以帮助明确问题的探究方向[2]。同时，学生根据语言描述画出符合题意的图形的过程，也是发展学生空间观念的途径之一。

例1 在平面直角坐标系中，点A（400，300），连接OA，在OA的延长线上有一点B，且AB=300，过点B作BCOB，若BC=400，且点C在直线OB左上方，求点C的坐标。

学生通过规范画图，如图1，能够容易直观地发现△OAH≌△CAB，以及C、A、H三点共线的结论，从而找到探究方向。在教学中，老师要注意培养学生规范画图的意识，这对培养学生几何直观素养能力有重要作用。

2.培养动手测量意识，预测数量关系

在几何教学中，教师应该有意识地培养学生动手测量的意识，在操作、观察、感悟、理解等过程中，预测数量关系，从而找到问题的探究方向。

例2 如图2，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP＇，连接PP＇、BP＇．

（1）用等式表示BP＇与CP的数量关系，并证明；

（2）当∠BPC＝120°时， ①直接写出∠P＇BP的度数为 ；

②若M为BC的中点，连接PM，请用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．

问题1：通过测量BP＇、CP，预测线段相等，观察图形找到全等，结合题目条件识别到图形中的“手拉手”模型，问题可以容易解决。

问题2：学生通过量角器测量发现∠P＇BP的角度为60°，然后结合题目条件和（1）的结论转化角关系，从而容易探寻解题方向。

问题3：如图3，学生利用直尺测量发现AP=2PM，再结合“M为BC的中点”这一条件，自然想到倍长中线，并利用几何直观观察发现△P＇BP与△NBP关于BP对称，由此证明△P＇BP△NBP，从而解决问题。

3.培养动手操作的意识，理解抽象概念

在代数教学中，教师可以借助几何图形使学生直观地理解相关知识。通过剪裁、拼摆等动手操作活动，可以让学生直观感受图形的拆分组合过程，帮助理解抽象概念。通过将抽象数学概念与直观操作活动相结合[2]，让学生在“做数学”中更深刻理解和掌握数学知识，进而促进学生几何直观素养的提升。

例3 剪拼活动：“赵爽弦图”

勾股定理：如果直角三角形的两直角边边长分别为a，b，斜边长为c ，那么有a2+b2=c2。

操作活动：

为了使学生理解勾股定理，教师可以设计以下操作活动：

（1）课前准备：学生在上课前剪好四个全等的直角三角形纸板，摆放成图4；

（2）拼摆过程：学生按小组进行拼摆活动，通过移动三角形位置拼出“赵爽弦图”（图5），教师巡视、并指导学生。

（3）展示活动：学生代表上讲台展示“赵爽弦图”的分割、拼接过程，并说明理由。

证明：图4可以看成边长分别为a， b的两个正方形拼接的图形，其面积可以表示为a2+b2，同时，也可以看做是四个全等的直角三角形和一个正方形拼接而成的图形。然后，移动图4中下方的两个直角三角形到图5的位置，就会拼成以c为边长的正方形。因为只是移动了三角形的位置，所以面积不变[3]。因此a2+b2=c2。

通过动手操作“赵爽弦图”，学生通过经历操作、观察、感悟、理解等“做数学”过程，可以直观地感受勾股定理的推理过程，从而对定理的推理有了更深刻的理解。同时，学生也积累数学操作的经验，使得学生几何直观、逻辑推理等核心素养得到提升。

4.培养构造图形的意识，理解代数问题

此外，在进行代数教学时，还可以培养学生借助几何图形描述和理解代数问题，比如构造几何图形理解一些特殊结构的代数式。几何图形可以增强学生的数学体验，在“做数学”的过程中，学生能够更直观地理解抽象的数学问题，从而提升学生的数学思维能力。

例4 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题：“当时，求代数式的最小值”，

分析：如图6，可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出几何图形，将问题转化为求的最小值。

这个例题是一个数形结合解决代数问题的经典案例。学生通过对代数式特殊结构的观察，动手操作画图，将其转化为几何问题。先利用勾股定理将代数式转化为直角三角形的斜边，再利用两点之间线段最短解决问题。

5.借助软件动态演示，感受化静为动

动点问题是中考中的热门考点，重点考察学生的观察、猜想、空间想象、作图、综合分析能力。解决动态问题，教师可以利用软件演示动点的运动过程，学生可以在这个过程中观察图形运动的过程，直观地感受图形的运动变化，找到动点的临界位置或特殊位置，利于准确观察，找到问题的探究方向[2]。在教学中除了利用软件动态演示，教师应该指导学生动手画图分析动点轨迹，特别是在临界点和特殊位置的图形，培养学生动手操作的能力，提升学生的几何直观素养。

例5 如图7，∠BOA=90°，∠ABO＝30°，OA=9，点C是点A关于BO的对称点，

（1）求证：△ABC是等边三角形；

（2）若点M在线段BC上，△OMN是等边三角形，且点M沿着线段BC从点B运动到点C，点N随之运动，求点N的运动路径长度．

几何画板动态演示：

如图8，运用几何画板演示动点M在运动的过程中，直观感受动点N形成的轨迹为线段。让学生理解如何探寻点N的临界状态，进行分类讨论，对问题进行精准分析和求解。几何画板演示有利于培养学生利用示意图探究动点N轨迹。同时，教师还应该培养学生动手画图的意识，描出临界点和特殊点的动点位置，帮助观察动点轨迹。

6.利用综合实践活动，建立几何直观基础

在初中阶段，要充分利用教材中的数学活动课，可以基于“做数学”理念设计数学操作活动，开展图形操作活动的基本途径包括尺规作图、折纸与剪拼。折纸与剪拼活动有助于学生从运动与变换的角度理解图形的位置关系。数学操作活动是培养学生几何直观素养的有效途径。

例6 折纸活动：黄金分割数

【动手操作】

在黄金分割数的折纸活动中，学生需要亲自动手操作折纸过程，通过“做数学”的数学实践活动，学生可以更深刻地感受图形的位置关系，积累操作活动经验，从变换的角度观察和理解图形的位置关系，从而提升学生的几何直观素养和逻辑推理能力。

总而言之，几何直观素养是数学核心素养的重要内容，也是学生学习数学必须具备的能力，对于初中生的数学学习十分重要。在初中数学教学中，教师要关注培养学生的几何直观素养。为了更好地达到几何直观能力培养的目标，，教师应该紧紧地围绕学科核心素养设计教学活动。同时，“做数学”的理念下的数学体验、数学实验、综合实践等数学活动也是提升学生几何直观、逻辑推理等数学学科核心素养的有效途径。基于几何直观能力培养过程中形成的教学思路，也可以迁移到其他数学学科核心素养要素培育的过程当中，这种以点带面的思路，可以奠定核心素养培育的基础[4]。

课题

本论文是福建省教育科学“十四五”规划2022年度课题的研究成果。课题名称：基于“做数学”的初中数学深度学习教学实践研究（FJJKZX22-295）

参考文献：

[1]潘丽莎.基于“做数学”理念的几何作图教学探索[J].教学与管理，2022，（03）：52-54.

[2]张河源.核心素养下初中生几何直观能力的培养[J].中学数学研究，2022，（12）：42-46.

[3]俞求是.勾股定理探究式教学的三种设计[J].数学教学，2018，（04）：1-4.

[4]曹娅烨.初中生几何直观能力培养的实践研究[J].数学教学通讯，2022，（05）：48-49.